Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar dan Pembahasannya
Dalam Matematika, Limit adalah nilai yang “didekati” sebuah barisan atau fungsi ketika nilai input dari barisan atau fungsinya mendekati sebuah nilai tertentu. Konsep limit digunakan dalam berbagai macam bidang dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh, produksi maksimum dari mesin suatu pabrik, dapat dikatakan merupakan limit untuk pencapain hasil. Pada prakteknya, pencapaian tersebut tidak tepat, tapi mendekati sedekat dekatnya.
Contoh Soal Limit
Soal No.1Carilah nilai limit berikut :
a.
lim 4x→3
b.
lim 3xx→3
c.
limx→2
3x 2 d.
lim 3x2 + 5x→3
e.
limx→2
2x2 + 4 2x + 2 Pembahasan
a.
lim 4 = 4x→3
b.
lim 3x = 3.(3) = 9x→3
c.
limx→2
3x 2= 3.(2) 2 = 3 d.
lim 3x2 + 5 = 3.(3)2 + 5 = 32x→3
e.
limx→2
2x2 + 4 2x + 2= 2.(22) + 4 2.(2) + 2= 12 6 = 2 Soal No.2
Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini:
limx→2
x2 - 4 x - 2 Pembahasan
Jika hasil substitusi adalah 0/0 (bentuk tak tentu), maka tidak dapat dilakukan dengan cara memasukkan nilai langsung, melainkan harus difaktorkan terlebih dahulu
Jadi hasil faktornya adalah :
(x-2)(x+2) (x-2)= (x+2)= (2+2) = 4
limx→2
x2 - 4 x - 2= 22 - 4 2 - 2= 0 0 (bentuk tak tentu) Jadi hasil faktornya adalah :
limx→2
x2 - 4 x - 2= Soal No.3
Hitunglah nilai limit dibawah ini :
limx→3
x2 - 9 √ x2 + 7 - 4 Pembahasan
Dengan substitusi langsung
Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka harus digunakan cara lain yaitu menggunakan perkalian akar sekawan:
limx→3
(x2 - 9) √ x2 + 7 - 4 = (32 - 9) √ 32 + 7 - 4 = 0 0 Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka harus digunakan cara lain yaitu menggunakan perkalian akar sekawan:
limx→3
(x2 - 9) √ x2 + 7 - 4 x √x2 + 7 + 4 √ x2 + 7 + 4 ⇔
limx→3
(x2 - 9).(√ x2 + 7 + 4) (x2 + 7) - 16 ⇔ (x2 - 9).(√ x2 + 7 + 4) (x2 - 9)
limx→3
⇔
limx→3
(√x2 + 7 + 4) = (√32 + 7 + 4) = 8 Soal No.4
Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini:
limx→2
x2 - 5x + 6 x2 - 4 Pembahasan
Jika disubstitusi langsung, maka akan didapatkan :
Dengan demikian kita harus menggunakan cara lain, yaitu : dengan mengfaktorkan dan melakukan turunan. Dalam soal no.4 ini kita lakukan dengan turunan :
limx→2
x2 - 5x + 6 x2 - 4= 22 - 5.(2) + 6 22 - 4 = 0 0 (bentuk tidak tentu) Dengan demikian kita harus menggunakan cara lain, yaitu : dengan mengfaktorkan dan melakukan turunan. Dalam soal no.4 ini kita lakukan dengan turunan :
limx→2
x2 - 5x + 6 x2 - 4 = 2x - 5 2x= 2.(2) - 5 2.(2)= - 1 4Soal No.5
Tentukan nilai limit dari :
lim x→∞
4x - 1 2x + 1 Pembahasan
Perhatikan pangkat tertinggi dari x pada
f (x ) = 4x – 1 dan g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi dari x adalah satu. lim x→∞
4x - 1 2x + 1 ⇔
lim x→∞
4x x - 1 x 2x x + 1 x
⇔
lim x→∞
4 - 1 x 2 + 1 x
= 4 - 1 ∞ 2 + 1 ∞
= 4 - 0 2 - 0
= 2 Soal No.6
Tentukan nilai limit dari :
lim x→∞
4x + 1 x2 - 2 Pembahasan
Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2, yaitu x2 yang terdapat pada x2 - 2. Sehingga :
lim x→∞
4x + 1 x2 - 2 ⇔
lim x→∞
4x x2 + 1 x2 x2 x2 - 2 x2
⇔
lim x→∞
4 x + 1 x2 1 - 2 x2
= 4 ∞ + 1 (∞)2 1 - 2 (∞)2
= 0 + 0 1 - 0
= 0 Soal No.7
Carilah nilai limit dari :
lim x→∞
2x2 - 5 x2 - 3 Pembahasan
Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2. Sehingga :
lim x→∞
2x2 - 5 x2 - 3 ⇔
lim x→∞
2x2 x2 - 5 x2 x2 x2 - 3 x2
⇔
lim x→∞
2 - 5 x2 1 - 3 x2
= 2 - 5 (∞)2 1 - 3 (∞)2
= 2 - 0 1 - 0
= 2 Soal No.8
Carilah limit dari :
lim x→a
x4 - a4 x - a Pembahasan
Jika hasil substitusi adalah 0/0 (bentuk tak tentu), maka tidak dapat dilakukan dengan cara memasukkan nilai langsung, melainkan harus difaktorkan terlebih dahulu
Jadi hasil faktornya adalah :
Sederhanakan lagi untuk : (x2 - a2), sehingga menjadi :
lim x→a
x4 - a4 x - a = a4 - a4 a - a
= 0 0
(bentuk tak tentu) Jadi hasil faktornya adalah :
⇔
lim x→a
(x2 - a2)(x2 + a2) x - a Sederhanakan lagi untuk : (x2 - a2), sehingga menjadi :
⇔ (x - a)(x + a)(x2 + a2) (x - a) = (a + a)(a2 + a2) = 4a3
lim x→a
Soal No.9
Hitunglah nilai limit dibawah ini :
limx→2
√x + 2 - √3x - 2
x - 2 Pembahasan
Dengan substitusi langsung :
Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka harus digunakan cara lain yaitu menggunakan perkalian akar sekawan:
(x - 2) (x - 2)(√x + 2 + √3x - 2) = -2 (√2 + 2 + √3(2) - 2) = -2 (√4 + √4) = -1 2
limx→2
√x + 2 - √3x - 2
x - 2 = √2 + 2 - √3(2) - 2
2 - 2 = √4 - √4
0 = 0 0 Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka harus digunakan cara lain yaitu menggunakan perkalian akar sekawan:
limx→2
√x + 2 - √3x - 2
x - 2 x √x + 2 + √3x - 2
√x + 2 + √3x - 2
limx→2
(x + 2)(3x -2) (x - 2)(√x + 2 + √3x - 2) limx→2
-2x + 4 (x - 2)(√x + 2 + √3x - 2) limx→2
-2Soal No.10
Hitunglah limit dari :
limx→2
2x2 + 3x - 2 x + 2 Pembahasan
limx→2
2x2 + 3x - 2 x + 2 = 2(22) + 3(2) - 2 2 + 2 ⇔ 12 4
⇔ 3
Soal No.11
Carilah limit dari :
limx→2
x3 - 8 x - 2 Pembahasan
Jika disubstitusi langsung, maka akan didapatkan :
Dengan demikian kita harus menggunakan cara lain, yaitu : dengan cara mengfaktorkan :
(x - 2)( (x - 2) = (22 + 2(2) + 4) = 12
limx→2
x3 - 8 x - 2= 23 - 8 2 - 4 = 0 0 (bentuk tidak tentu) Dengan demikian kita harus menggunakan cara lain, yaitu : dengan cara mengfaktorkan :
limx→2
x3 - 8 x - 2 = (x2 + 2x + 4)
Tags:
Matematika